高三数学（理科）二轮复习教案专题6第3讲立体几何中的向量方法.docVIP

第三讲　立体几何中的向量方法 研热点（聚焦突破） 类型一 利用空间向量证明位置关系 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)． (1)线面平行 l∥αa⊥ua·u＝0a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥αa∥ua＝kua1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥βu∥vu＝kva3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4. (4)面面垂直 α⊥βu⊥vu·v＝0a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. [例1]　(2012年高考福建卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． [解析]　(1)证明：以A为原点，eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(AD,\s\up14(→))，eq \o(AA1,\s\up14(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(eq \f(a,2)，1，0)，B1(a，0，1)，故eq \o(AD1,\s\up14(→))＝(0，1，1)，eq \o(B1E,\s\up14(→))＝(－eq \f(a,2)，1，－1)，eq \o(AB1,\s\up14(→))＝(a，0，1)，eq \o(AE,\s\up14(→))＝(eq \f(a,2)，1，0)． ∵eq \o(AD1,\s\up14(→))·eq \o(B1E,\s\up14(→))＝－eq \f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)， 使得DP∥平面B1AE.此时eq \o(DP,\s\up14(→))＝(0，－1，z0)． 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面B1AE，∴n⊥eq \o(AB1,\s\up14(→))，n⊥eq \o(AE,\s\up14(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0.)) 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－eq \f(a,2)，－a)． 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥eq \o(DP,\s\up14(→))，有eq \f(a,2)－az0＝0， 解得z0＝eq \f(1,2). 又DP 平面B1AE， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq \f(1,2). 跟踪训练 如图，在圆锥PO中，已知PO＝eq \r(2)，⊙O的直径＝2，C是的中点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC. 证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，eq \r(2))，D(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量， 则由n1·＝0，n1·＝0，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋\f(1,2)y1＝0，,\r(2)z1＝0.)) 所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1，1，0)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量， 则由n2·＝0，n2·＝0，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－\r(2)z2＝0，,y2－\r(2)z2＝0.)) 所以x2＝－eq \r(2)z2，y2＝eq \r(2)z2，取z2＝1， 得n2＝(－eq \r(2)，eq \r(2)，1)． 因为n1·n2＝(1，1，0)·(－eq \r(2)，eq \r(2)，1)＝0， 所以n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC. 类型二 利用空间向量求角 1．向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|). 2．向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，a〉|＝eq \f(|n·a|,|n||a|). 3．向量法求二面角 求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)； 若二面角