高考数学（苏教版，理）一轮学案26 平面向量的数量积及其应用.docVIP

学案26　平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 自主梳理 1．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________． (2)向量夹角θ的范围是________________，a与b同向时，夹角θ＝______；a与b反向时，夹角θ＝______. (3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________． 2．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：______________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________； ②非零向量a，b，a⊥b?________； ③a·a＝________或|a|＝________； ④cos〈a，b〉＝______________； ⑤|a·b|____|a||b|. 3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa)·b＝a·(λb)＝____________＝λa·b. 4．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝____________； (2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b?____________； (3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________， cos〈a，b〉＝_______________. (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝________________，所以|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝_____________. 自我检测 1．(2010·湖南改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝________. 2．(2010·重庆改编)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ 3．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ＝________. 4．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，则动点C的轨迹方程为________________． 5．(2009·天津)若等边△ABC的边长为2eq \r(3)，平面内一点M满足eq \o(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \o(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(CA,\s\up6(→))，则eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究点一　向量的模及夹角问题 例1　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b (1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|； (3)若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积． 变式迁移1　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________． (2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________． 探究点二　两向量的平行与垂直问题 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的eq \r(3)倍(k0)． (1)求证：a＋b与a－b垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ. 变式迁移2　(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b