高考数学（苏教版，理）一轮学案22 正弦定理和余弦定理.docVIP

第5章　解三角形与平面向量 学案22　正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝____； (2)a＋b____c，a－bc； (3)ab?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)acsin B＝____________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或______________?三角形为等腰或直角三角形 sin(A＋B)＝sin C，sin eq \f(A＋B,2)＝cos eq \f(C,2). 2．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ________________＝2R a2＝____________， b2＝____________， c2＝____________ 变形 形式 ①a＝________， b＝________， c＝________； ②sin A＝________， sin B＝________， sin C＝________； ③a∶b∶c＝________； ④eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A) cos A＝____________________； cos B＝____________________； cos C＝____________________ 解决 的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 自我检测 1．(2010·上海改编)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则a∶b∶c＝________. 2．(2010·天津改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq \r(3)bc，sin C＝2eq \r(3)sin B，则A＝________. 3．(2010·烟台一模)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为eq \r(3)，则边a的值为________． 4．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(2)，b＝2，sin B＋cos B＝eq \r(2)，则角A的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________. 探究点一　正弦定理的应用 例1　(1)在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，求角A、C和边c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c. 变式迁移1　(1)在△ABC中，若tan A＝eq \f(1,3)，C＝150°，BC＝1，则AB＝________； (2)在△ABC中，若a＝50，b＝25eq \r(6)，A＝45°，则B＝________. 探究点二　余弦定理的应用 例2　已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tan A的值 变式迁移2　在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝eq \f(2π,3)，b＝eq \r(13)，a＋c＝4，求a. 探究点三　正余弦定理的综合应用 例3　在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状． 变式迁移3　(2010·天津)在△ABC中，eq \f(AC,AB)＝eq \f(cos B,cos C). (1)证明：B＝C； (2)若cos A＝－eq \f(1,3)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4B＋\f(π,3)))的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． 3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁