高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 10 数列求和.docVIP

必考问题10　数列求和 1．(2012·全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \f(100,101) B.eq \f(99,101) C.eq \f(99,100) D.eq \f(101,100) 答案： A　[设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，所以S100＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,100)－eq \f(1,101)＝1－eq \f(1,101)＝eq \f(100,101)，故选A.] 2．(2011·全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)． A．8 B．7 C．6 D．5 答案：D　[∵{an}是等差数列，a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.由已知得Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)＋2(k＋1)－2＝4k＋4＝24，所以k＝5，故选D.] 3．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A　[∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝eq \f(a5－a1,5－1)＝eq \f(－3＋11,4)＝2得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小．故选A.] 4．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________. 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1. 答案　1 本部分是高考重点考查的内容，题型有选择题、填空题和解答题．对于数列的通项问题，求递推数列(以递推形式给出的数列)的通项是一个难点，而数列的求和问题多从数列的通项入手，并与不等式证明或求解结合，有一定难度． (1)牢固掌握等差数列和等比数列的递推公式和通项公式，以一阶线性的递推公式求通项的六种方法(观察法、构造法、猜归法、累加法、累积法、待定系数法)为依托，掌握常见的递推数列的解题方法．对于既非等差又非等比的数列要综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法进行研究，要善于将其转化为特殊数列，这是一种非常重要的学习能力． (2)对于数列求和部分的复习要注意以下几点：①熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用，这是数列求和的基础；②掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法，特别要掌握好裂项与错位相减求和的方法，这是高考考查的重点；③掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法，如求数列前n项和的最值，研究前n项和所满足的不等式等. 必备知识 求通项公式的方法 (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an； (2)利用前n项和与通项的关系an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(?n＝1?，,?n≥2?；)) (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq \f(an＋1,an)＝f(n)； (5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)． 常用公式 等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)，12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(n?n＋1??2n＋1?,6). 常用裂项方法 (1)eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)； (2)eq \f(1,n?n＋k?)＝eq \f(1,k)eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k). 必备方法 1．利用转化，解决递推公式为Sn与an的关系式：数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))通过纽带：an＝Sn－Sn