高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第13章 13.2 复数.DOCVIP

§13.2 　复　数 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. (5)复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2). 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi平面向量eq \o(OZ,\s\up6(→))(a，b∈R). 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解. (　×　) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (　×　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. (　×　) (4)原点是实轴与虚轴的交点. (　√　) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　√　) 2.(2012·北京改编)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________条件 答案　必要而不充分 解析　当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0. 故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件. 3.(2013·陕西改编)设z是复数，则下列命题中的假命题是________.(填序号) ①若z2≥0，则z是实数；②若z20，则z是虚数；③若z是虚数，则z2≥0；④若z是纯虚数，则z20. 答案　③ 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0，,|a|≥|b|))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝0，,|a|≥|b|)).所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以①为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z20时，z一定是虚数，故②为真命题；由于i2＝－10，故③为假命题，④为真命题. 4.(2013·四川改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是________. 答案　B 解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点 表示eq \x\to(z). 5.(2013·江苏)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________. 答案　5 解析　z＝(2－i)2＝3－4i，|z|＝ eq \r(32＋?－4?2)＝5.  题型一　复数的概念 例1　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq \f(z1,z2)为纯虚数，则复数eq \f(z1,z2)的虚部为________. (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2” 思维启迪　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数. (2)直接根据复数相等的条件求解. 答案　(1)1　(2)充分不必要 解析　(1)由eq \f(z1,z2)