高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第11章 11.2 用样本估计总体.DOCVIP

§11.2　 用样本估计总体 1.频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征. (2)在频率分布直方图中，纵轴表示eq \f(频率,组距)，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1. (3)连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比. (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 平均数：样本数据的算术平均数，即eq \x\to(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn). 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (2)样本方差、标准差 标准差s＝ eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\to(x)?2＋?x2－\x\to(x)?2＋…＋?xn－\x\to(x)?2])， 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，eq \x\to(x)是平均数. 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. (　√　) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论. (　×　) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. (　√　) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次. (　×　) 2.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________. 答案　3.2 解析　eq \x\to(x)＝eq \f(10＋6＋8＋5＋6,5)＝7， ∴s2＝eq \f(1,5)[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝eq \f(16,5)＝3.2. 3.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2；则x＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为________. 答案　4　0.7 解析　x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， P＝eq \f(2＋3＋4＋5,20)＝0.7或P＝1－eq \f(4＋2,20)＝0.7. 4.(2012·湖南)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎 叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________. (注：方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\to(x))2＋(x2－eq \x\to(x))2＋…＋(xn－eq \x\to(x))2]，其中eq \x\to(x)为x1，x2，…，xn的平均数) 答案　6.8 解析　依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为eq \f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11. 由方差公式得s2＝eq \f(1,5)[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝eq \f(1,5)(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 5.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________. 答案　600 解析　由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600. 题型一　频率分布直方图的绘制与应用 例1　某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数) 分成六