高考数学（江苏专用，理科）二轮专题复习 专题六 第3讲.docVIP

第3讲　计数原理 考情解读　(1)高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力．(2)排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等． 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！). (2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)或写成Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,m！?n－m?！). (3)组合数的性质 ①Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)； ②Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n). 3．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)anb0＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \o\al(n,n)a0bn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中Ceq \o\al(r,n)叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即Ceq \o\al(0,n)＝Ceq \o\al(n,n)，Ceq \o\al(1,n)＝Ceq \o\al(n－1,n)，…，Ceq \o\al(k,n)＝Ceq \o\al(n－k,n)，…. ②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Ceq \f(n,2)n取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Ceq \f(n－1,2)n，Ceq \f(n＋1,2)n相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(k,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n； b．Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(2r,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋…＋Ceq \o\al(2r＋1,n)＋… ＝eq \f(1,2)·2n＝2n－1. 热点一　两个计数原理 例1　(1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　) A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 (2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为(　　) A．240 B．204 C．729 D．920 思维启迪　(1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类． 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个； 余下两个数字按从小到大只有一种方法． 共有2×3＝6种结果，故选A. (2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种； 当中间数为3时，有2×3＝6种； 当中间数为4时，有3×4＝12种； 当中间数为5时，有4×5＝20种； 当中间数为6时，有5×6＝30种； 当中间数为7时，有6×7＝42种； 当中间数为8时，有7×8＝56