高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理和余弦定理学案 理 北师大版.docVIP

第七节　正弦定理和余弦定理 [考纲传真]　(教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (对应学生用书第61页) [基础知识填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos A； b2＝c2＋a2－2ca·cos B； c2＝a2＋b2－2ab·cos C 变形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R) cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A； (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识拓展] 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．合比定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R. 3．在锐角三角形中①A＋B＞eq \f(π,2)；②若A＝eq \f(π,3)，则eq \f(π,6)＜B，C＜eq \f(π,2). [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(,3)，b＝4eq \r(,2)，则B＝45°或135°.(　　) (4)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C).(　　) [解析]　(1)正确．A＞B?a＞b?sin A＞sin B． (2)错误．由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形． (3)错误．由b＜a知，B＜A． (4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝(　　) A．eq \f(1,5)　　　 B．eq \f(5,9) C．eq \f(\r(5),3) D．1 B　[根据eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，有eq \f(3,\f(1,3))＝eq \f(5,sin B)，得sin B＝eq \f(5,9).故选B．] 3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(,5)，c＝2，cos A＝eq \f(2,3)，则b＝(　　) A．eq \r(,2) B．eq \r(,3) C．2 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×eq \f(2,3)， 解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)，故选D．] 4．在△ABC中，a＝3eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，cos C＝eq \f(1,3)，则△ABC的面积为________． 4eq \r(3)　[∵cos C＝eq \f(1,3)，0＜C＜π， ∴sin C＝eq \f(2\r(2),3)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×2eq \r(3)×eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(3).] 5．(教材改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．] (对应学生用书第62页) 利用正、