高考数学一轮复习名师学案（北师大版文科）： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和学案.docVIP

第二节　等差数列及其前n项和 [考纲传真]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． (对应学生用书第69页) [基础知识填充] 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝eq \f(a＋b,2). 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)D． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)， (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n. 数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． [知识拓展] 1．等差数列前n项和的最值 在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小． 2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1). 3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　) A．－1 B．1　　　　　 C．2　　　　　 D．－2 D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2 3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝eq \f(5?a1＋a5?,2)＝5a3＝5.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d， ∴S9＝eq \f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝3，,a1＋9d＝8，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1.)) ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C． 法二：∵{an}是等差数列， ∴S9＝eq \f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C．] 5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数. 【导学号：0009016