高考数学高分突破二轮复习练习：专题六 规范答题示范含解析.docVIP

规范答题示范——函数与导数解答题 【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. [信息提取] 看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导. 看到要证f(x)≤－eq \f(3,4a)－2成立，想到利用导数求函数的最大值. [规范解答] (1)解　f(x)的定义域(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f(（2ax＋1）（x＋1）,x). ……………………………………………………………………………………1分 若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ……………………………………………………………………………………2分 若a0时，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)0； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)0. 故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减. ……………………………………………………………………………………5分 (2)证明　由(1)知，当a0时，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处取得最大值，最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)， 所以f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价于lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)≤－eq \f(3,4a)－2，即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0， ……………………………………………………………………………………8分 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1. 当x∈(0，1)时，g′(x)0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)0. 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. ……………………………………………………………………………………10分 所以当x0时，g(x)≤0， 从而当a0时，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0， 即f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. ……………………………………………………………………………………12分 [高考状元满分心得] 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用. 得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处最值的判定，f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价转化为lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0等. 得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处的最大值. [解题程序] 第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)； 第二步：分类讨论f(x)的单调性； 第三步：利用单调性，求f(x)的最大值； 第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)； 第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式. 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范. 【巩固提升】 已知函数f(x)＝x2－kln x－a，g(x)＝x2－x. (1)当a＝0时，若g(x)f(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围. (2)是否存在常数k，使得函数f(x)和g(x)在区间(0，＋∞)上具有相同的单调性？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解　(1)当a＝0时，由g(x)f(x)得kln xx， 因为x1，所以ln x0