高考数学二轮解题方法篇：专题3 解题策略 第4讲.docVIP

第4讲　整体处理问题的策略 [方法精要]　整体思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性． 所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进 行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法． 题型一　整体处理问题的策略在函数中的应用 例1　若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为________． 破题切入点　本题是抽象函数的定义域问题，这类问题的解决要有整体意识，把2x－1作为一个整体，其取值范围与y＝f(x)中的x取值范围相同．解决这类问题要注意两个问题，①等范围代换，即将括号内的式子作为一个整体考虑，取值范围相同；②求定义域问题就是求自变量的取值范围． 答案　[0,1) 解析　由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则－1≤2x－11， 解得0≤x1. 所以f(2x－1)的定义域为[0,1)． 题型二　整体处理问题的策略在立体几何中的应用 例2　长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的对角线长． 破题切入点　要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解　设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z， 对角线长为l，则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2?xy＋yz＋zx?＝11，,4?x＋y＋z?＝24，)) 由4(x＋y＋z)＝24，得x＋y＋z＝6， 从而由长方体对角线性质得 l＝eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(?x＋y＋z?2－2?xy＋yz＋zx?) ＝eq \r(62－11)＝5， 所以长方体的对角线长为5. 题型三　整体处理问题的策略在三角函数中的应用 例3　已知2sinθ－cosθ＝1，求eq \f(sinθ＋cosθ＋1,sinθ－cosθ＋1)的值． 破题切入点　设t＝eq \f(sinθ＋cosθ＋1,sinθ－cosθ＋1)可得sinθ、cosθ的方程，与已知条件2sinθ－cosθ＝1联立，即可用t的代数式表示sinθ、cosθ，再根据sin2θ＋cos2θ＝1求得t的值． 解　设t＝eq \f(sinθ＋cosθ＋1,sinθ－cosθ＋1)，则(1－t)sinθ＋(1＋t)cosθ＝t－1， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?1－t?sinθ＋?1＋t?cosθ＝t－1，,2sinθ－cosθ＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(2t,3＋t)，,cosθ＝\f(3t－3,3＋t).)) 又因为sin2θ＋cos2θ＝1， 所以(eq \f(2t,3＋t))2＋(eq \f(3t－3,3＋t))2＝1， 解得t＝0或t＝2. 所以所求的值为0或2. 总结提高　用整体思想解题过程简洁明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时才能使复杂问题简单化，优化解题过程，提高解题的速度．强化整体意识，灵活选择恰当的整体思想方法，可以大大提高学习效率． 1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　A 解析　因为3x＋11，所以log2(3x＋1)0，故选A. 2．已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x－1(x≥1) B．f(x)＝x2－1(x≥0) C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2－1(x≥1) 答案　D 解析　令t＝eq \r(x)＋1，则t≥1， 且eq \r(x)＝t－1，x＝(t－1)2， f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． 3．已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，tan(β－eq \f(π,4))＝eq \f(1,4)，则tan(α＋eq \f(π,4))的值为(　　) A.eq \f(1,6)B.eq \f(22,13)C.eq \f(3,22)D.eq \f(13,18) 答案　C 解析　因为tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，tan(β－eq \f(π,4))＝eq \f(1,4)， 所以tan(α＋eq \f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq \f(π,4))] ＝eq \f(tan?α＋β?－tan?β－\f(π,4)?,1＋tan?α＋β?·tan?β－\f(π,4)?)