第七章不等式§7 (3).DOCVIP

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 2014高考会这样考　1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案． 复习备考要这样做　1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合． 1． 二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2． 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3. 应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [难点正本　疑点清源] 1． 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． 2． 求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．要注意：当b0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z取最大值． 1． 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________． 答案　－5m10 解析　由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]0， 即(m＋5)(m－10)0，∴－5m10. 2． 如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________． 答案　x＋y－10 解析　平面区域的边界线方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,1)＝1， 即x＋y－1＝0.所以平面区域满足不等式是 x＋y－10. 3． 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条件是________________． 答案　eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(50x＋40y≤2 000,x∈N*,y∈N*)) 4． (2012·课标全国)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≤3，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－2y的取值范围为 ________． 答案　[－3,3] 解析　作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示， 作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y－3＝0))得B(1,2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＋y－3＝0))得A(3,0)． ∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]． 5． (2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过