第二章函数与基本初等函数I§2 (5).docVIP

§2.5　指数与指数函数 2014高考会这样考　1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 复习备考要这样做　1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构． 1． 根式的性质 (1)(eq \r(n,a))n＝a. (2)当n为奇数时eq \r(n,an)＝a. 当n为偶数时eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a　?a≥0?－a　?a0?)) 2． 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：an＝a·a·…·eq \o(a,\s\do4(n个)) (n∈N*)． ②零指数幂：a0＝1(a≠0)． ③负整数指数幂：a－p＝eq \f(1,ap)(a≠0，p∈N*)． ④正分数指数幂：aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a0，m、n∈N*，且n1)． ⑤负分数指数幂：a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am)) (a0，m、n∈N*，且n1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)． 3． 指数函数的图象与性质 y＝ax a1 0a1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x0时，y1； x0时，0y1 (5)当x0时，0y1； x0时，y1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 数a按：0a1和a1进行分类讨论． [难点正本　疑点清源] 1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂 的运算，从而可以简化计算过程． 2． 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1 进行分类讨论． 3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值． 1． 化简[(－2)6]eq \f(1,2)－(－1)0的值为________． 答案　7 解析　[(－2)6]eq \f(1,2)－(－1)0＝(26)eq \f(1,2)－1＝23－1＝7. 2． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________． 答案　(－eq \r(2)，－1)∪(1，eq \r(2)) 解析　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0a2－11，∴1a22，即1aeq \r(2) 或－eq \r(2)a－1. 3． 若函数f(x)＝ax－1 (a0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 答案　eq \r(3) 解析　当a1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]． 因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝eq \r(3). 当0a1时，x∈[0,2]，y∈[a2－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a＝eq \r(3). 4． (2012·四川)函数y＝ax－eq \f(1,a)(a0，且a≠1)的图象可能是 (　　) 答案　D 解析　当a1时，y＝ax－eq \f(1,a)为增函数，且在y轴上的截距为01－eq \f(1,a)1，排除A，B. 当0a1时，y＝ax－eq \f(1,a)为减函数，且在y轴上的截距为1－eq \f(1,a)0，故选D. 5． 设函数f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4， (　　) A．f(－2)f(－1) B．f(－1)f(－2) C．f(1)f(2) D．f(－2)f(2) 答案　A 解析　∵f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4， ∴a－2＝4，∴a＝eq \f(1,2)， ∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－|x|＝2|x|，∴f(－2)f(－1)，故选A. 题型一　指数幂的运算 例1　(1)计算：(124＋22eq \r(3))eq \f(1,2)－27eq \f(1,6)＋16eq \f(3,4)－2×(8－eq \f(2,3))－1； (2)已知xeq \f(1