第八章立体几何§8 (3).DOCVIP

§8.7　立体几何中的向量方法(Ⅰ)—— 证明平行与垂直 2014高考会这样考　1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.能用向量方法证明线面的平行或垂直；3.考查用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题． 复习备考要这样做　1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 1． 用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量eq \o(AP,\s\up6(→))＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量． (2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→))，叫做空间直线的向量参数方程． 2． 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3． 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. [难点正本　疑点清源] 利用空间向量解决立体几何中的平行问题 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线． (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内． ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线，也要说明直线不在平面内． ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内． 1． 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________． 答案　平行 解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1与l2不重合，∴l1∥l2. 2． 已知eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________． 答案　eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4 解析　由题意知，eq \o(BP,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BP,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→)). 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1×3＋5×1＋?－2?×z＝0，,?x－1?＋5y＋?－2?×?－3?＝0，,3?x－1?＋y－3z＝0，)) 解得，x＝eq \f(40,7)，y＝－eq \f(15,7)，z＝4. 3． 已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是 (　　) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 答案　C 解析　∵c＝2a，∴a∥c 又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝－4＋0＋4＝0， ∴a⊥b. 4． 若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是 (　　) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)