第3章函数的应用3.示范教案（2.1 几类不同增长的函数模型 第2课时）.docVIP

第2课时 几类不同增长的函数模型 导入新课 思路1情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. 思路2直接导入 我们知道，对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象. ③结合函数的图象找出其交点坐标. ④请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围. ⑤由以上问题你能得出怎样结论？ 讨论结果： ①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数. ②见下表与图3-2-1-12. x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.959 6.063 8 10.556 y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.67 9 11.56 y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766 图3-2-1-12 ③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16). ④不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞). ⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13), x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 图3-2-1-13 容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x22x. 但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示. x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24 y=x2 0 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 图3-2-1-14 一般地，对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn. 同样地，对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn. 综上所述，尽管对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.虽然幂函数y=xn(n0)增长快于对数函数y=logax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例 思路1 例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可