高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 7 三角恒等变换与解三角形.docVIP

必考问题7　三角恒等变换与解三角形 1．(2012·全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝eq \f(\r(3),3)，则cos 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),9) C.eq \f(\r(5),9) D.eq \f(\r(5),3) 答案：A　[将sin α＋cos α＝eq \f(\r(3),3)两边平方，可得1＋sin 2α＝eq \f(1,3)，sin 2α＝－eq \f(2,3)，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝eq \f(5,3)，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－eq \f(\r(15),3)，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－eq \f(\r(5),3)，选A.] 2．(2012·江西)若tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，则sin 2θ＝(　　)． A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2) 答案：D　[∵tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(1＋tan2θ,tan θ)＝4，∴4tan θ＝1＋tan2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝eq \f(2sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq \f(2tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(2tan θ,4tan θ)＝eq \f(1,2).] 3．(2012·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C A.eq \f(7,25) B．－eq \f(7,25) C．±eq \f(7,25) D.eq \f(24,25) 答案：A　[因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理得cos B＝eq \f(sin C,2sin B)＝eq \f(c,2b)＝eq \f(4,5)，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq \f(7,25)，故选A.] 4．(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－eq \f(1,4)，则b＝________. 解析　由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，解得b＝4. 答案　4 1．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点． 2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力. 1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键． 2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键. 必备知识 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβ?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tanβ,1?tan αtanβ). 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). (4)降幂公式：sin2 α＝eq \f(1－cos 2α,2)，cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2). 正弦定理及其变形 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 余弦定理及其推论 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abco