高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第9章 9.5 椭圆.DOCVIP

§9.5　 椭　圆 1.椭圆的概念 (1)第一定义： 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a0，c0，且a， ①若ac，则集合P为椭圆； ②若a＝c，则集合P为线段； ③若ac，则集合P为空集. (2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e(0e1)时，则这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数是椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (ab0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2 焦距 F1F2＝ 离心率 e＝eq \f(c,a)∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (　×　) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距). (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. (　×　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆. (　√　) 2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值是________. 答案　eq \f(8,3) 解析　由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(m－2,m)＝eq \f(1,4)，∴m＝eq \f(8,3). 3.(2013·广东改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是________. 答案　eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 解析　由题意知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________. 答案　(0,1) 解析　将椭圆方程化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1， ∵焦点在y轴上，∴eq \f(2,k)2，即k1，又k0，∴0k1. 5.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________. 答案　eq \r(3)－1 解析　设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1＝c，AF2＝eq \r(3)c，有2a＝(1＋eq \r(3))c， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1. 题型一　椭圆的定义及标准方程 例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________. (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________. (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)、P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则椭圆的方程为________. 思维启迪　(1)题主要考虑椭圆的定义； (2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解. 答案　(1)椭圆　(2)eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1 (3)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1 解析　(1)点P在线段AN的垂直平分线上， 故PA＝PN， 又AM是圆的半径， ∴PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. (2)若焦点在x轴上，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq