高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第8章 8.4 直线、平面垂直的判定与性质.DOCVIP

§8.4 　直线、平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (　×　) (2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直. (　√　) (3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，eq \f(π,2)]. (　×　) (4)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (　√　) (5)若α⊥β，a⊥β?a∥α. (　×　) (6)a⊥α，a?β?α⊥β. (　√　) 2.(2013·广东改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的序号为________. ①若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n; ②若α∥β，m?α，n?β，，则m∥n； ③若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β； ④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β. 答案　④ 解析　①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中m与n可平行、可异面；③中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故③错误；故④正确. 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的 个数是________. 答案　4 4.已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是 1、2，则点P到l的距离为________. 答案　eq \r(5) 解析　如图，∵PO?平面PAB， ∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离， ∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形， PO＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5). 5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________. 答案　①③④?②(或②③④?①) 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝ 60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点. 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 思维启迪　第(1)问通过CD⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD 得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE 内的两条相交直线垂直. 证明　(1)在四棱锥P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE. 思维升华　(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 　如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，