高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程学案 理 北师大版.docVIP

第八节　函数与方程 [考纲传真]　(教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． (对应学生用书第27页) [基础知识填充] 1．函数的零点 (1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． (4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－4 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 [知识拓展]　有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) (5)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的区间是(　　) A．(1,2)　　　　 B．(2,3) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞) B　[易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B．] 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．] 4．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[∵f(－1)＝eq \f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)内有零点， 又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．] 5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))　[∵函数f(x)的图像为直线， 由题意可得f(－1)·f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得eq \f(1,3)＜a＜1， ∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).] (对应学生用书第28页) 判断函数零点所在区间 　(1)已知函数f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(x－2)的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，\f(k＋1,2)))(k∈Z)内，那么k＝________. (1)C　(2)5　[(1)∵f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(x－2)在(0，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝ln 1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f