高考数学一轮复习名师学案（北师大版文科）： 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法学案.docVIP

第一节　数列的概念与简单表示法 [考纲传真]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． (对应学生用书第67页) [基础知识填充] 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 单调性 递增数列 an＋1an 其中n∈N* 递减数列 an＋1an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 5．数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 6．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an， 则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，?n＝1?，,Sn－Sn－1，?n≥2?.)) [知识拓展] 1．数列{an}是递增数列?an＋1＞an恒成立． 2．数列{an}是递减数列?an＋1＜an恒成立． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝eq \f(1,2an－1)，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　) A．15 B．16　　　　　 C．49　　　　　 D．64 A　[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5-1-1)． 图5-1-1 则第7个三角形数是(　　) 【导学号 A．27　　　 B．28　　　 C．29　　　 D．30 B　[由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．(教材改编)数列1，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，eq \f(4,7)，eq \f(5,9)，…的一个通项公式an是__________． eq \f(n,2n－1)　[由已知得，数列可写成eq \f(1,1)，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，故通项为eq \f(n,2n－1).] 5．(2018·张掖模拟)数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________. eq \f(1,2)　[由an＋1＝eq \f(1,1－an)，得an＝1－eq \f(1,an＋1)， ∵a8＝2，∴a7＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， a6＝1－eq \f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq \f(1,a6)＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝eq \f(1,2).] (对应学生用书第68页) 由数列的前几项归纳数列的通项公式 　写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)eq \f(1,2)，－eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…； (3)3,33,333,3 333，…. (4)－1,1，－2,2，－3,3… [解]　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…， 所以an＝eq \f(2n－1,2n). (3)将数列各项改写为eq \f(9,3)，eq \f(99,3)，eq \f(999,3)，eq \f(9 999,3)，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所