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§5.1 平面向量的概念及线性运算
2014高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算;2.考查向量运算的几何意义,向量共线的应用.
复习备考要这样做 1.重视向量的概念,熟练掌握向量加减法及几何意义;2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系.
1. 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3. 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
[难点正本 疑点清源]
1. 向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2. 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.
3. 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
1. 若a=“向东走8 km”,b=“向北走8 km”,则|a+b|=_____;a
答案 8eq \r(2) 东北方向
解析 根据向量加法的几何意义,|a+b|表示以8
∴|a+b|=8eq \r(2),a+b的方向是东北方向.
2. 如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且eq \o(AB,\s\up6(→))=a,eq \o(AD,\s\up6(→))=b,则eq \o(BE,\s\up6(→))
=____________.
答案 b-eq \f(1,2)a
解析 eq \o(BE,\s\up6(→))=eq \o(BA,\s\up6(→))+eq \o(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \o(DC,\s\up6(→))=-a+b+eq \f(1,2)a=b-eq \f(1,2)a.
3. 已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足eq \o(PA,\s\up6(→))+eq \o(BP,\s\up6(→))+eq \o(CP,\s\up6(→))=0,eq \o(AP,\s\up6(→))=λeq \o(PD,\s\up6(→)),则实数λ的值为________.
答案 -2
解析 如图所示,由eq \o(AP,\s\up6(→))=λeq \o(PD,\s\up6(→)),且eq \o(PA,\s\up6(→))+eq \o(BP,\s\up6(→))+eq \o(CP,\s\up6(→))=0,则P是以AB、AC为
邻边的平行四边形的第四个顶点,因此eq \o(AP,\s\up6(→))=-2eq \o(PD,\s\up6(→)),则λ=-2.
4. 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2eq \o(OA,\s\up6(→))+eq \o(OB,\s\up6(→))+eq \o(OC,\s\up6(→))=0,那么( )
A.eq \o(AO,\s\up6(→))=eq \o(OD,\s\up6(→)) B.eq \o(AO,\s\up6(→))=2eq \o(OD,\s\up6(→))
C.eq \o(AO,\s\up6(→))=3eq \o(OD,\s\up6(→)) D.2eq \o(AO,\s\up6(→))=eq \o(OD,\s\up6(→))
答案 A
解析 由2eq \o(OA,\s\up6(→))+eq \o(OB,\s\up6(→))+eq \o(OC,\s\up6(→))=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故eq \o(AO,\s\up6(→))=e
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