高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：2.8　函数模型及其综合应用含解析.docVIP

2.8　函数模型及其综合应用 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 函数模型及其综合应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征. 2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. 2018浙江,11 函数模型及其综合应用 解二元一次方程组 ★★★ 2014浙江,17 函数模型及其综合应用 三角函数模型 分析解读　　1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题. 2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题(例:2017浙江17题). 3.预计函数模型及其综合应用在2020年高考中出现的可能性很大,应高度重视. 破考点 【考点集训】 考点　函数模型及其综合应用 1.(2018河南商丘模拟,12)已知函数f(x)=-x3+1+a1e≤x≤e,e是自然对数的底数与g(x)=3ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数 A.[0,e3-4] B.0 C.1e3+2, 答案　A　 2.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=10x-2+4(x-6)2 (1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润; (2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数) 解析　(1)当x=4时,y=102+4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得的利润为(4-2)×21=42(千元 (2)该店每日销售产品A所获得的利润 f(x)=(x-2)·10x-2+4(x- 从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x6). 令f (x)=0,得x=103,易知在2,103上, f (x)0,函数f(x)单调递增;在103,6上, 所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点 所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值 故当销售价格约为3.3元/件时,获得的利润最大. 解题关键　解第(2)问的关键是建立利润关于销售价格的函数,进而利用导数法确定最大值点. 炼技法 【方法集训】 方法　函数应用题的解法 1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta= (T0-Ta)·12th,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要 答案　10 2.(2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=. (1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证题干中的采光要求? (2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3) 解析　如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. (1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9米.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b, 即3x+4y-4b=0, 则由|27+24-4b|32+4 故太阳光线所在直线方程为y=-x+24, 令x=30,得y=,即EG=1.5米2.5米. 所以此时能保证采光要求. (2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r. 解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b, 即3x+4y-4b=0,由|3 解得b=h+2r或b=h-r(舍), 故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r, 令x=30,得y=2r+h-452,由y≤,得h≤ 所以S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r(25-2r)+ r2 =-r2+50r=- (r-10)2+250≤250, 当且仅当r=10时取等号. 所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大. 解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐标为(30,2.5), 设过