高考数学（苏教版，理）一轮学案45 直线与方程.docVIP

第九章　解析几何 学案45　直线与方程 导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系． 自主梳理 1．直线的倾斜角与斜率 (1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________． (2)倾斜角的范围为________________． (3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k＝________，倾斜角是90°的直线斜率________． (4)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_____________________. 2．直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x＝x0 斜截式 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 自我检测 1．若A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则m的值为________． 2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为_______________________________________________________． 3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)． ①经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； ②经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示； ③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示； ④经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b. 4．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限． 5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为______________． 探究点一　倾斜角与斜率 例1　已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率． 变式迁移1　直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________． 探究点二　直线的方程 例2　过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程． 变式迁移2　求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍． 探究点三　直线方程的应用 例3　过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程； (2)PA·PB最小时l的方程． 变式迁移3　为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m， 数形结合思想 例　(14分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． 试求eq \f(y＋3,x＋2)的最大值与最小值． 【答题模板】 解　由eq \f(y＋3,x＋2)的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，[4分] 由图可知： kPA≤k≤kPB，由已知可得：A(1,1)，B(－1,5)， ∴eq \f(4,3)≤k≤8，[10分] 故eq \f(y＋3,x＋2)的最大值为8，最小值为eq \f(4,3).[14分] 【突破思维障碍】 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果． 1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α180°，熟记斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y