高考数学（苏教版，理）一轮学案20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docVIP

学案20　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用． 自主梳理 1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________. (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z) 其变形为： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)， 其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos φ＝\f(a,\r(a2＋b2))，,sin φ＝\f(b,\r(a2＋b2))，,tan φ＝\f(b,a)，))角φ称为辅助角． 自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________. 3．coseq \f(π,12)＋eq \r(3)sineq \f(π,12)＝________. 4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________． 5．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是________． 探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例1　求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]eq \r(2sin280°)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq \r(3)·cos(θ＋15°)． 变式迁移1　求值：(1)eq \f(2cos 10°－sin 20°,sin 70°)； (2)tan(eq \f(π,6)－θ)＋tan(eq \f(π,6)＋θ)＋eq \r(3)tan(eq \f(π,6)－θ)tan(eq \f(π,6)＋θ)． 探究点二　给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值) 例2　已知0βeq \f(π,4)αeq \f(3π,4)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq \f(5,13)，求sin(α＋β)的值． 变式迁移2　(2010·广州高三二模)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2). (1)求tan α的值； (2)求eq \f(sin?α＋β?－2sin αcos β,2sin αsin β＋cos?α＋β?)的值． 探究点三　给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值) 例3　已知0αeq \f(π,2)βπ，tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，cos(β－α)＝eq \f(\r(2),10). (1)求sin α的值；　(2)求β的值． 变式迁移3　若sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，且A、B均为钝角，求A＋B的值． 转化与化归思想 例　(14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝eq \f(2\r(5),5). (1)求cos(α－β)的值； (2)若－eq \f(π,2)β0αeq \f(π,2)，且sin β＝－eq \f(5,13)，求sin α的值． 【