高考数学（苏教版，理）一轮学案9 幂函数.docVIP

学案9　幂函数 导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \f(1,2)的图象，了解它们的单调性和奇偶性． 自主梳理 1．幂函数的概念 形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x R R 奇  (1,1) y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞) (－∞，0] y＝x3 R R 奇  Y＝xeq \f(1,2) [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞) Y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0) (0，＋∞) (2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点． 自我检测 1．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________________． 2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝xeq \f(1,2).则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是_____________________________________． 3．设α∈{－1,1，eq \f(1,2)，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________． 4．与函数y＝eq \f(x,x＋1)的图象形状一样的是________(填序号)． ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝eq \f(1,x)；④y＝x＋1. 5．已知点(eq \f(\r(3),3)，3eq \r(3))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是____________． 探究点一　幂函数的定义与图象 例1　已知幂函数f(x)的图象过点(eq \r(2)，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)． 变式迁移1　若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，eq \f(1,4))在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?x?，f?x?≤g?x?，,g?x?，f?x?g?x?，)) 试求函数h(x)的最大值以及单调区间． 探究点二　幂函数的单调性 例2　比较下列各题中值的大小． (1)30.8,30.7； (2)0.213,0.233； (3)，； (4)，和. 变式迁移2　(1)比较下列各组值的大小： ①________； ②0.20.5________0.40.3 (2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则m的取值范围为_____________________________ 探究点三　幂函数的综合应用 例3　(2010·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－eq \f(m,3)(3－2a)－eq \f(m,3)的a的范围． 变式迁移3　已知幂函数f(x)＝(m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围． 1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．若函数f(x)是幂函数，且满足eq \f(f?4?,f?2?)＝3，则f(eq \f(1,2))的值为________． 2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－eq \f(1,2))n(－eq \f(1,5))n，则n＝________. 3．下