高考数学（苏教版，理）一轮学案5　函数的单调性与最值.docVIP

学案5　函数的单调性与最值 导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 自主梳理 1．单调性 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在区间I上是单调________________． (2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0?eq \f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0?f(x)在[a，b]上是单调________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0?eq \f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0?f(x)在[a，b]上是单调________． (3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________． (4)函数y＝x＋eq \f(a,x)(a0)在 (－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)上单调________；在(－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a))上单调________；函数y＝x＋eq \f(a,x)(a0)在____________上单调递增． 2．最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0))，则称f(x0)为y＝f(x)的最____(或最____)值． 自我检测 1．若函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空) 2．(2011·连云港模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有f(a2＋1)________f(a)．(填“”、“”或“＝”) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)． ①y＝1－2x；②y＝eq \r(x－1)；③y＝－x2＋2x；④y＝5. 4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a的取值范围是________． 5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为______________________． 探究点一　函数单调性的判定及证明 例1　设函数f(x)＝eq \f(x＋a,x＋b)(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性． 变式迁移1　已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋eq \f(1,f?x?)，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论． 探究点二　函数的单调性与最值 例2　已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围． 变式迁移2　已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)＋eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 探究点三　抽象函数的单调性 例3　已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－eq \f(2,3). (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 变式迁移3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(eq \f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2. 分类讨论及数形结合思想 例　(14分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】 解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.[2分] (1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0≤a1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)当1a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[11分] (4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0) 综上，(1)当a0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a (2)当