高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第14章 14.2 矩阵与变换.DOCVIP

§14.2 　矩阵与变换 1．乘法规则 (1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))的乘法规则： [a11　a12]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]． (2)二阶矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11　a12,a21　a22))与列向量eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))的乘法规则： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11　a12,a21　a22))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)). (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11　a12,a21　a22))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11　b12,b21　b22)) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×b11＋a12×b21　a11×b12＋a12×b22,a21×b11＋a22×b21　a21×b12＋a22×b22)) (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由AB＝AC不一定能推出B＝C. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,0　1))； (2)伸压变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,0　\f(1,2)))； (3)反射变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　　0,0　－1))； (4)旋转变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos θ　－sin θ,sin θ　　cos θ))，其中θ为旋转角度； (5)投影变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,0　0))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,1　0))； (6)切变变换：如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　k,0　1))(k∈R，且k≠0)． 3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1 4．特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a　　－b,－c　　λ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式． 1．在切变变换M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(　1　0,－2　1))作用下，直线y＝2x－1变为________． 答案　y＝－1 2．将椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________． 答案　7x2＋7y2＋2xy－24＝0 3．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,1　0))对应的线性变换作用下，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1变为________________． 答案　y＝x(－2≤x≤0) 4．计算：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　3,2　4))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1　1,　0　4))＝________. 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1　13,－2　18)) 5．矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0　－1,1　　0))的逆矩阵是________． 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(　0　1,－1　0)) 题型一　求变换矩阵 例1　已知变换S把平面上的点A(3