高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第10章 10.3 二项式定理.DOCVIP

§10.3　 二项式定理 1.二项式定理 (a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*). 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数.式中的Ceq \o\al(r,n)an－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项：Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－rbr. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n). 3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n). (2)增减性与最大值：二项式系数Ceq \o\al(r,n)，当req \f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当req \f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的. 当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大. 当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(k,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝2n－1.  1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项. (　×　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项. (　×　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关. (　√　) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项. (　×　) 2.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________. 答案　40 解析　Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－rbr＝Ceq \o\al(r,5)15－r(2x)r＝Ceq \o\al(r,5)×2r×xr，令r＝2， 则可得含x2项的系数为Ceq \o\al(2,5)×22＝40. 3.在(eq \f(x,2)－eq \f(1,\r(3,x)))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________. 答案　7 解析　由题意有n＝8，Tr＋1＝Ceq \o\al(r,8)(eq \f(1,2))8－r(－1)rx8－eq \f(4,3)r， r＝6时为常数项，常数项为7. 4.已知Ceq \o\al(0,n)＋2Ceq \o\al(1,n)＋22Ceq \o\al(2,n)＋23Ceq \o\al(3,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n)＝729，则Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)等于________. 答案　63 解析　逆用二项式定理得Ceq \o\al(0,n)＋2Ceq \o\al(1,n)＋22Ceq \o\al(2,n)＋23Ceq \o\al(3,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝26－Ceq \o\al(0,n)＝64－1＝63. 5.设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________. 答案　0 解析　a10，a11分别是含x10和x11项的系数， 所以a10＝－Ceq \o\al(11,21)，a11＝Ceq \o\al(10,21)， 所以a10＋a11＝Ceq \o\al(10,21)－Ceq \o\al(11,2