高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第10章 10.2 排列与组合.DOCVIP

§10.2　 排列与组合 1.排列 (1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \o\al(m,n)表示. (3)排列数公式：Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1). (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，Aeq \o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！)，这里规定0！＝1. 2.组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \o\al(m,n)表示. (3)组合数的计算公式：Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n！,m！?n－m?！)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，由于0！＝1，所以Ceq \o\al(0,n)＝1. (4)组合数的性质：①Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)__；②Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)__＋Ceq \o\al(m－1,n)__. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (　×　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. (　×　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (　√　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！. (　√　) (5)Aeq \o\al(m,n)＝nAeq \o\al(m－1,n－1). (　√　) (6)kCeq \o\al(k,n)＝nCeq \o\al(k－1,n－1). (　√　) 2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种. 答案　10 解析　方法一　不同的赠送方法有eq \f(A\o\al(4,5),A\o\al(2,2)A\o\al(3,3))＝10(种). 方法二　从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq \o\al(1,4)＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq \o\al(2,4)＝6(种)赠送方法.因此共有4＋6＝10(种)赠送方法. 3.(2012·大纲全国改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种. 答案　12 解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有Aeq \o\al(3,3)种不同的排法. 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有Aeq \o\al(1,2)种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法. 因此共有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(1,2)·1＝12(种)不同的排列方法. 4.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________. 答案　48 解析　分两步： (1)先排个位有Aeq \o\al(1,2)种排法. (2)再排前三位有Aeq \o\al(3,4)种排法，故共有Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,4)＝48种排法. 5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种. 答案　14 解析　①有1名女生：Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(3,4)＝8.②有2名女生：Ceq \o\al(2,2)Ceq \o\al(2,4)＝6. ∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).  题型一　排列问题 例1　有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端