高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第8章 专题五 高考中的立体几何问题.DOCVIP

专题五 　高考中的立体几何问题 1.(2013·课标全国Ⅱ改编)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则下列结论正确的是________. ①α∥β且l∥α； ②α⊥β且l⊥β； ③α与β相交，且交线垂直于l； ④α与β相交，且交线平行于l. 答案　④ 解析　假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l. 2.如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′ 的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的 各个面上的投影不可能是________.(填序号) 答案　④ 解析　空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③，只有④不可能. 3.已知平面α，β和直线m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β. 当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 答案　②④ 解析　若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 4.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(AD,\s\up6(→))、eq \o(AA1,\s\up6(→))两两的夹角均为60°，且|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq \o(AA1,\s\up6(→))|＝3，则|eq \o(AC1,\s\up6(→))|＝________. 答案　5 解析　∵eq \o(AC1,\s\up6(→))＝eq \o(AA1,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))， ∴eq \o(AC1,\s\up6(→))2＝(eq \o(AA1,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))2＝eq \o(AA1,\s\up6(→))2＋eq \o(AB,\s\up6(→))2＋eq \o(AD,\s\up6(→))2＋2·eq \o(AA1,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＋2·eq \o(AA1,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＋2·eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝9＋1＋4＋2×3×1×eq \f(1,2)＋2×3×2×eq \f(1,2)＋2×1×2×eq \f(1,2)＝25， ∴|eq \o(AC1,\s\up6(→))|＝5. 5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD ＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置 关系为________. 答案　平行 解析　取PD的中点F，连结EF， 在△PCD中，EF綊eq \f(1,2)CD. 又∵AB∥CD且CD＝2AB， ∴EF綊AB， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴EB∥AF. 又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 题型一　空间中的平行、垂直问题 例1　(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA， AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD， PC的中点. (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求证：平面EFG⊥平面EMN. 思维启迪　(1)在平面PAD内作直线CE的平行线或者利用平面CEF∥平面PAD证明； (2)MN是平面EFG的垂线. 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连结EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊eq \f(1,2)AB. 又CD綊eq \f(1,2)AB，所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形， 所以CE∥DH. 又DH?平面PAD，CE?平面PAD. 所以CE∥平面PAD. 方法二　连结CF. 因为F为AB的中点， 所以AF＝eq \f(1,2)AB. 又CD＝eq \f(1,2)AB，所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CF∥AD，又CF?平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA. 又因为