高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第8章 8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.DOCVIP

§8.6　 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·a＝0,n·b＝0)). 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的. (　×　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的. (　×　) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行. (　×　) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行. (　√　) (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行. (　×　) (6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行. (　×　) 2.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则l1与l2所成的角的大小为________. 答案　90° 解析　a·b＝－12＋36－24＝0，故a⊥b，即l1⊥l2. 3.已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列四点中，在平面α内的是________. P1(2,3,3); P2(－2,0,1)； P3(－4,4,0); P4(3，－3,4). 答案　P1 解析　逐一验证法，对于P1，eq \o(MP1,\s\up6(→))＝(1,4,1)， ∴eq \o(MP1,\s\up6(→))·n＝6－12＋6＝0，∴eq \o(MP1,\s\up6(→))⊥n， ∴点P1在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 4.已知eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________. 答案　eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4 解析　由题意知，eq \o(BP,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BP,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→)). 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1×3＋5×1＋?－2?×z＝0，,?x－1?＋5y＋?－2?×?－3?＝0，,3?x－1?＋y－3z＝0，)) 解得，x＝eq \f(40,7)，y＝－eq \f(15,7)，z＝4. 5.若A(0,2，eq \f(19,8))，B(1，－1，eq \f(5,8))，C(－2,1，eq \f(5,8))是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 答案　2∶3∶(－4)  题型一　证明平行问题 例1　(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD， BC⊥CD，AD＝2，BD＝2eq \r(2)，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q 在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD. 思维启迪　证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量. 证明　方法一　如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所 在射线为y、