高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第7章 7.6 数学归纳法.DOCVIP

§7.6　 数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤： (1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立． 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立. (　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. (　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用. (　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项. (　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23. (　√ (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3. (　√　) 2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是__________________________________. 答案　1＋a＋a2 解析　观察等式左边的特征得到n＝1时的式子. 3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…－eq \f(1,n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_________________. 答案　n＝k＋2时等式成立 解析　因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 4.已知f(n)＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n2)，则f(n)中共有________项，f(2)＝______________. 答案　n2－n＋1　eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) 解析　从n到n2共有n2－n＋1个数， 所以f(n)中共有n2－n＋1项. 5.用数学归纳法证明：“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________. 答案　2k 解析　当n＝k时，要证的式子为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)k； 当n＝k＋1时，要证的式子为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1)k＋1. 左边增加了2k项. 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*). 思维启迪　证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化. 证明　①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 这就是说当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可知，对所有n∈N*等式成立. 思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立. (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法. 　用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，eq \f(1,1×3)＋eq \f(1,3×5)＋…＋eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(n,2n＋1). 证明　(1)当n＝1时，左边＝eq \f(1,1×3)＝eq \f(1,3)， 右边＝eq \f(1,2×1＋1)＝eq \f(1,3)，左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 eq \f(1,1×3)＋eq \f(1,3×5)＋…＋eq \f(1,