高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：第三部分 回顾4　平面向量含答案.docVIP

回顾4　平面向量 [必记知识] 平面向量共线的坐标表示的两种形式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1，此形式对任意向量a，b(b≠0)都适用． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，则a∥b?eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2). 需要注意的是可以利用eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)来判定a∥b，但是反过来不一定成立． 向量法证明三点共线 (1)对于eq \o(OA,\s\up6(→))＝λ eq \o(OB,\s\up6(→))＋μ eq \o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1，反之，也成立． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线． 平面向量的数量积 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝eq \r(a·a) |a|＝eq \r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)) 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))·\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤eq \r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))· eq \r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)) 两向量的夹角与数量积 设两个非零向量a与b的夹角为θ，则 当θ＝0°时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|； 当θ为锐角时，cos θ0，a·b0； 当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0； 当θ为钝角时，cos θ0，a·b0； 当θ＝180°时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|. [必会结论] 三点共线的判定 A，B，C三点共线?eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))共线； 向量eq \o(PA,\s\up6(→))，eq \o(PB,\s\up6(→))，eq \o(PC,\s\up6(→))中三终点A，B，C共线?存在实数α，β使得eq \o(PA,\s\up6(→))＝αeq \o(PB,\s\up6(→))＋βeq \o(PC,\s\up6(→))，且α＋β＝1. 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心?|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A). (2)O为△ABC的重心?eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝0. (3)O为△ABC的垂心?eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))·eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))·eq \o(OA,\s\up6(→)). (4)O为△ABC的内心?aeq \o(OA,\s\up6(→))＋beq \o(OB,\s\up6(→))＋ceq \o(OC,\s\up6(→))＝0. [必练习题] 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m)，且(a＋b)∥(a－b)，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：选D.因为a＝(2，1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，1＋m)，a－b＝(3，1－m)．又因为(a＋b)∥(a－b)，所以1×(1－m)＝(1＋m)×3，解得m＝－eq \f(1,2).故选D. 2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2eq \o(AO,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC