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江苏省2013届高考数学(苏教版)二轮复习专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)
高考中考查函数性质的形式不一,时而填空题,时而解答题,时而与其他章节综合,在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系,同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外,函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查;函数的零点问题是近年来新增的一个考点,也要引起足够的重视.
1.已知函数F(x)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))-1是R上的奇函数,an=f(0)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))+…+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n-1,n)))+f(1)(n∈N*),则数列{an}的通项an=________.
解析:由题意知F(-x)=-F(x),即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-x+\f(1,2)))-1=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))+1,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-x+\f(1,2)))=2.
令t=x+eq \f(1,2),则f(t)+f(1-t)=2.
分别令t=0,eq \f(1,n),eq \f(2,n),…,eq \f(n-1,n),eq \f(n,n),得
f(0)+f(1)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n-1,n)))=…=2.
∵an=f(0)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))+…+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n-1,n)))+f(1),
∴由倒序相加法得2an=2(n+1),故an=n+1.
答案:n+1
2.(2012·徐州期末)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题
①当c=0,y=f(x)是奇函数;
②当b=0,c0时,方程f(x)=0只有一个实数根;
③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多有两个实数根.
其中命题正确的是________.
解析:当c=0时f(-x)=-x|x|-bx=-f(x),①正确;当b=0,c0时由f(x)=0得x|x|+c=0,只有一个正根,②正确;若P(x,y)是y=f(x)图象上的任意一点,则f(-x)=-x|x|-bx+c=2c-(x|x|+bx+c)=2c-y,即P′(-x,2c-y)也在y=f(x)的图象上,③正确;④不正确,如b=-2,c=0时,f(x
答案:①②③
3.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题:
①f(x)必是偶函数;
②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称;
③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;
④f(x)有最大值|a2-b|.
其中正确的序号是________.
解析:①显然是错的;②由于函数加了绝对值,所以对于一个函数值可能对应的x值有4个,故不一定得到对称轴是x=1;由于a2-4≤0时,f(x)=x2-2ax+b,故③正确;④结合函数图象,可以判定函数无最大值.
答案:③
4.(2012·淮阴联考)给出下列四个结论:
①函数y=k·3x(k为非零常数)的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到;
②不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ax-1,x)))a的解集为M,且2?M,则a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),+∞));
③定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)·f(x)=-1,则f(x)是周期函数;
④已知f(x)满足对x∈R都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x))=2成立,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,8)))+…+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\
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