高考数学高分突破二轮复习练习：专题八 第2讲 函数与方程、数形结合思想含解析.docVIP

第2讲　函数与方程、数形结合思想 数学思想解读　1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 热点一　函数与方程思想 应用1　求解不等式、函数零点的问题 【例1】 (1)设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为(　　) A.ea－1aae B.aeaea－1 C.aeea－1a D.aea－1ae (2)(2018·湖南六校联考)已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,e)，e－1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋\f(1,e))) C.(1，e－1] D.(1，＋∞) 解析　(1)设f(x)＝ex－x－1，x0， 则f′(x)＝ex－10， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)0， ∴ex－1x，即ea－1a. 又y＝ax(0a1)在R上是减函数，得aae， 从而ea－1aae. (2)令h(x)＝g(x)，得xln x＋1＝kx，即eq \f(1,x)＋ln x＝k. 令函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,x)，若方程xln x－kx＋1＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个不等实根，则函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,x)与y＝k在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个不相同的交点，f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)，令eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)＝0可得x＝1，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))时f′(x)0，函数是减函数；当x∈(1，e)时，f′(x)0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－1＋e，f(e)＝1＋eq \f(1,e)，又－1＋e1＋eq \f(1,e)，所以，函数的最大值为e－1.所以关于x的方程xln x－kx＋1＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个不等实根，则实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋\f(1,e))). 答案　(1)B　(2)B 探究提高　1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解. 2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题. (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f(x)＝eq \f(x,2)－cos x，则方程f(x)＝eq \f(π,4)所有实根的和为(　　) A.0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,2) (2)(2018·石家庄质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝log2(1－x)，若f(a2－1)1，则实数a的取值范围是(　　) A.(－eq \r(2)，0)∪(0，eq \r(2)) B.(－eq \r(2)，eq \r(2)) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，1) 解析　(1)由f(x)＝eq \f(x,2)－cos x＝eq \f(π,4)，得eq \f(x,2)－eq \f(π,4)＝cos x， 令y＝eq \f(x,2)－eq \f(π,4)，y＝cos x. 在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点eq \b\lc\(\rc\)