第十二章概率与统计§12 (7).DOCVIP

§12.7　正态分布 2014高考会这样考　1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率；2.考查3σ原则的实际 应用． 复习备考要这样做　1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率． 1． 正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(?x－μ?2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ (σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))； ④曲线与x轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． 　 2． 正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝?eq \o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997_4. [难点正本　疑点清源] 1． 正态曲线的对称性 正态曲线的函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(?x－μ?2,2σ2).很显然，当μ＝0时，φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x2,2σ2)是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解． 2． 3σ原则 通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则． 正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 1． 已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ2)＝________. 答案　0.1 解析　∵P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4， ∴P(ξ2)＝eq \f(1,2)(1－2×0.4)＝0.1. 2． 若X～N(0,1)，且P(X1.54)＝0.938 2，则P(|X|1.54)＝________. 答案　0.876 4 解析　由正态曲线的对称性知 P(X≥1.54)＝P(X≤－1.54)． 又P(X≥1.54)＝1－P(X1.54)＝1－0.938 2＝0.061 8 ∴P(X≤－1.54)＝0.061 8， ∴P(|X|1.54)＝P(－1.54X1.54) ＝P(X1.54)－P(X≤－1.54) ＝0.938 2－0.061 8＝0.876 4. 3． 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq \f(1,\r(8π))e－eq \f(?x－10?2,8)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是 (　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 答案　B 解析　由eq \f(1,\r(8π))e－eq \f(?x－10?2,8)＝eq \f(1,\r(2π)·σ)e－eq \f(?x－μ?2,2σ2)， 可知σ＝2，μ＝10. 4． 设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于 (　　) A．1 B．2 C．3 D． 答案　B 解析　∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是eq \f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2. 5． (2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于 (　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 答案　C 解析　∵P(ξ4)＝0.8， ∴P(ξ4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x＝2， P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2， ∴P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6. ∴P(0ξ2)＝eq \f(1,2)P(0ξ4)＝0.3. 题型一　正态曲线的性质 例1　若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq \f(1,4\r(2π)). (1)求该正态分布的概率密度函