高考数学二轮解题方法篇：专题2 临场必备答题模板 第5讲.docVIP

第5讲　圆锥曲线的常规问题 例6　已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥eq \f(4,5)c，求双曲线的离心率e的取值范围． 审题破题　用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围． 解　设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝eq \f(b?a－1?,\r(a2＋b2))， 同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝eq \f(b?a＋1?,\r(a2＋b2))， 于是s＝d1＋d2＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(2ab,c). 由s≥eq \f(4,5)c，得eq \f(2ab,c)≥eq \f(4,5)c，即5aeq \r(c2－a2)≥2c2， 可得5eq \r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0， 解得eq \f(5,4)≤e2≤5. 由于e1，故所求e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))). 构建答题模板 第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式； 第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集； 第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围； 第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a，b，c的大小关系等． 跟踪训练6　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为eq \r(2)，离心率为eq \f(\r(2),2)，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→)). (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围． 解　(1)设椭圆C的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)， 设c0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， 所以a＝1，b＝c＝eq \f(\r(2),2). 故椭圆C的方程为y2＋eq \f(x2,\f(1,2))＝1，即y2＋2x2＝1. (2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,2x2＋y2＝1，))得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0， Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)0，(*) x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq \f(m2－1,k2＋2). 因为eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))，所以－x1＝3x2， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2，,x1x2＝－3x\o\al(2,2).))所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0. 所以3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,k2＋2)))2＋4·eq \f(m2－1,k2＋2)＝0. 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0， 即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0. 当m2＝eq \f(1,4)时，上式不成立；当m2≠eq \f(1,4)时，k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)， 由(*)式，得k22m2－2， 又k≠0，所以k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)0. 解得－1m－eq \f(1,2)或eq \f(1,2)m1. 即所求m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).