第二章函数与基本初等函数I§2 (6).docVIP

§2.6　对数与对数函数 2014高考会这样考　1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数． 复习备考要这样做　1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系． 1． 对数的概念 如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__ 叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2． 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0且a≠1，M0，N0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝eq \f(n,m)logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝eq \f(logaN,logab) (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝eq \f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3． 对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x1时，y0 当0x1时，y0 (5)当x1时，y0 当0x1时，y0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4. 反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． [难点正本　疑点清源] 1． 对数值取正、负值的规律 当a1且b1或0a且0b1时，logab0； 当a1且0b1或0a1且b1时，logab0. 2． 对数函数的定义域及单调性 对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论． 3． 关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较． 1． (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是__________． 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析　函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))， 令t＝2x＋1 (t0)． 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上为增函数，所以函 数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). 2． 函数y＝loga(x＋3)－1 (a0且a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn0)，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________． 答案　8 解析　y＝loga(x＋3)－1 (a0且a≠1)的图象恒过点A(－2，－1)，A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上， 即2m＋n ∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)≥4＋2eq \r(4)＝8， 当且仅当4m2＝n2 3． (2012·安徽)(log29)·(log34)等于 (　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4 答案　D 解析　方法一　原式＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3·2lg 2,lg 2·lg 3)＝4. 方法二　原式＝2log23·eq \f(log24,log23)＝2×2＝4. 4． (2012·重庆)已知a＝log23＋log2eq \r(3)，b＝log29－log2eq \r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关 系是 (　　) A．a＝bc