第二章函数与基本初等函数I§2 (2).docVIP

§2.2　函数的单调性与最值 2014高考会这样考　1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围． 复习备考要这样做　1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论． 1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2． 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 [难点正本　疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特 征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2． 函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的 定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数 函数、指数函数等； 如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调 性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3． 单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 1． (2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________. 答案　－6 解析　f(x)＝|2x＋a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋a，x≥－\f(a,2)，－2x－a，x－\f(a,2).)) 作出函数图象，由图象知： 函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))， ∴－eq \f(a,2)＝3，∴a＝－6. 2． (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________． 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 3． (课本改编题)函数f(x)＝eq \f(2x,x＋1)在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． 答案　eq \f(4,3)，1 解析　f(x)＝eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(2?x＋1?－2,x＋1)＝2－eq \f(2,x＋1)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝eq \f(4,3)，f(x)min ＝f(1)＝1. 4． 已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2f(x)2 的解集为________． 答案　(－3,0) 解析　画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(－3,0)． 5． 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 (　　) A．a－eq \f(1,4) B．a≥－eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4)≤a0 D．－eq \f(1,4)≤a≤0 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，＋4)上单调 递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－eq \f(1,a)， 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a0，且－eq \f(1,a)≥4，解得0a≥－eq \f(1,4). 综合上述－eq \f(1,4)≤a≤0. 题型一　函数单调性的判断 例1　试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1) (a≠0)在(－1,1)上的单调性． 思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解　设－1x1x21， f(x)＝aeq \f(x－1＋1,x－1)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,