高中数学破题致胜微方法(函数的周期性):轴对称与周期函数的关系含答案.docVIP

高中数学破题致胜微方法(函数的周期性):轴对称与周期函数的关系含答案.doc

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对称性和周期性都是函数的重要性质,而这两种性质之间,有没有什么关联呢?今天我们就来通过几个例子,轴对称与周期性之间的关系。 我们在数学学习过程中,认识了很多函数,如二次函数,它有对称轴,但并不是周期函数;而三角函数,一般都是周期函数,且如cosx有无数条对称轴。这些都是具体函数的特点,那么它们之间有没有普遍规律呢? 先看例题 例:f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数 由已知,f(x)为偶函数,所以有 又因为,f(x)关于x=1对称,所以有 所以有,,即函数为周期函数 一般规律: 若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称(a≠b), 则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期; 证明: 练:已知函数f(x)图象关于x=2对称,且函数f(6+x)是定义在R上的偶函数,f(11)=2,则f(2011)=( ) 由已知: 可知函数有对称轴为:x=6 由上文整理的一般规律可知: 函数为周期函数,且周期为 又因为: 所以 总结: 1.如果函数有两条不同的对称轴,则它一定是周期函数 2.该类函数的周期为T=2|a-b| 练习: 1.函数f(x)定义在R上,且对一切x∈R满足 ,设,求方程在区间中至少有几个实根? 2.若偶函数f(x),x∈R满足: (1)图象关于x=a对称(a0); (2)在区间0,a]上是减函数; 求证:f(x)以2a为最小正周期 答案: 1.解: 根据已知x=2,x=7是函数的两条对称轴 所以可知函数为周期函数T=2(7-2)=10, 因为f(0)=f(4)=0 所以f(10)=f(14)=0 所以函数在区间(0,10]上至少有两个根 因为 由周期性可知,f(-1000)=0 所以方程在区间至少有个 2.解 根据已知,函数为偶函数,所以关于x=0对称, 又因为函数关于x=a对称 所以函数为周期函数,且T=2(a-0)=2a 假设f(x)存在比2a更小的周期,设为2b,则02b2a 且 令x=-2b,则 (1)若, 则与f(x)在0,a]上是减函数 (2)若,即时 与f(x)在0,a]上是减函数矛盾, 所以2a是f(x)的最小正周期。

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