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对称性和周期性都是函数的重要性质,而这两种性质之间,有没有什么关联呢?今天我们就来通过几个例子,轴对称与周期性之间的关系。
我们在数学学习过程中,认识了很多函数,如二次函数,它有对称轴,但并不是周期函数;而三角函数,一般都是周期函数,且如cosx有无数条对称轴。这些都是具体函数的特点,那么它们之间有没有普遍规律呢?
先看例题
例:f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数
由已知,f(x)为偶函数,所以有
又因为,f(x)关于x=1对称,所以有
所以有,,即函数为周期函数
一般规律:
若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称(a≠b),
则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期;
证明:
练:已知函数f(x)图象关于x=2对称,且函数f(6+x)是定义在R上的偶函数,f(11)=2,则f(2011)=( )
由已知:
可知函数有对称轴为:x=6
由上文整理的一般规律可知:
函数为周期函数,且周期为
又因为:
所以
总结:
1.如果函数有两条不同的对称轴,则它一定是周期函数
2.该类函数的周期为T=2|a-b|
练习:
1.函数f(x)定义在R上,且对一切x∈R满足 ,设,求方程在区间中至少有几个实根?
2.若偶函数f(x),x∈R满足:
(1)图象关于x=a对称(a0);
(2)在区间0,a]上是减函数;
求证:f(x)以2a为最小正周期
答案:
1.解:
根据已知x=2,x=7是函数的两条对称轴
所以可知函数为周期函数T=2(7-2)=10,
因为f(0)=f(4)=0
所以f(10)=f(14)=0
所以函数在区间(0,10]上至少有两个根
因为
由周期性可知,f(-1000)=0
所以方程在区间至少有个
2.解
根据已知,函数为偶函数,所以关于x=0对称,
又因为函数关于x=a对称
所以函数为周期函数,且T=2(a-0)=2a
假设f(x)存在比2a更小的周期,设为2b,则02b2a
且
令x=-2b,则
(1)若,
则与f(x)在0,a]上是减函数
(2)若,即时
与f(x)在0,a]上是减函数矛盾,
所以2a是f(x)的最小正周期。
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