高考数学（苏教版，理）一轮学案62 几何概型.docVIP

几何概型 导学目标： 了解几何概型的意义． 自主梳理 1．几何概型 设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型． 2．几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝eq \f(d的测度,D的测度). 3．古典概型与几何概型的区别 (1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的． 自我检测 1．在长为12 cm的线段AB上任取一点M 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 2．(2011·福建改编)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于____________． 3. 如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________． 4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________． 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq \f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq \f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 探究点一　与长度有关的几何概型 例1　国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 变式迁移1　在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________． 探究点二　与角度有关的几何概型 例2　如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率． 变式迁移2　 若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？ 探究点三　与面积有关的几何概型 例3　两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 变式迁移3　甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率． 分类讨论与数形结合思想 例　(14分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R. (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率； (2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率． 【答题模板】 解　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素， ∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值， 即基本事件总数为12.[3分] 设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A， 当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为ab. 当ab时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率为P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).[7分] (2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域， 其面积SΩ＝2×3＝6.[9分] 设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，ab}，即图中阴影部分的梯形， 其面积SM＝6－eq \f(1