高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第14章 14.3 坐标系与参数方程.DOCVIP

§14.3　 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos_θ，y＝ρsin_θ. 另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝eq \f(y,x). 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b表示过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2rcos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； ρ＝2rsin θ表示圆心在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为|r|的圆； ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝f?t?，,y＝g?t?.)) 并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcos α,y＝y0＋tsin α))(t为参数)． (2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcos θ,y＝b＋rsin θ))(θ为参数)． (3)椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝acos θ,y＝bsin θ))(θ为参数)． (4)抛物线方程y2＝2px(p0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2pt2,y＝2pt))(t为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 答案　4eq \r(3) 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 答案　x2＋y2－2x－y＝0 3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t为参数)上，则PF＝________. 答案　4 4．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tsin 40°，,y＝3＋tcos 40°))(t为参数)的倾斜角为________． 答案　50° 5．已知曲线C的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3t，,y＝2t2＋1))(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________． 答案　M1 题型一　极坐标与直角坐标的互化 例1　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－eq \f(π,3))＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 解　(1)由ρcos(θ－eq \f(π,3))＝1得ρ(eq \f(1,2)cos θ＋eq \f(\r(3),2)sin θ)＝1. 从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1， 即x＋eq \r(3)y＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． 当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以N(eq \f(2\r(3),3)，eq \f(π,2))． (2)M点的直角坐标为(2,0)．