高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第8章 8.5 空间向量及其运算.DOCVIP

§8.5 　空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是 eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ta ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→))或eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→)). (2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为eq \o(MP,\s\up6(→))＝xeq \o(MA,\s\up6(→))＋yeq \o(MB,\s\up6(→))或对空间任意一点O，有eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))＋xeq \o(MA,\s\up6(→))＋yeq \o(MB,\s\up6(→))或eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OM,\s\up6(→))＋yeq \o(OA,\s\up6(→))＋zeq \o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))， cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) . 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?a2－a1?2＋?b2－b1?2＋?c2－c1?2).  1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面. (　√　) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c). (　×　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c. (　×　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同. (　×　) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s