高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版文科）： 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性学案 文 北师大版.docVIP

第三节　函数的奇偶性与周期性 [考纲传真]　1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． (对应学生用书第11页) [基础知识填充] 1．奇函数、偶函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数． 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． 2．判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称． (2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)： 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数． 3．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [知识拓展] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)，则T＝2a(a＞0)． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　　) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b A．－eq \f(1,3)　　　　　　　　 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) B　[依题意b＝0，且2a＝－(a ∴b＝0且a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3).] 3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋eq \f(1,2x) D．y＝x2＋sin x D　[A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意； B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意； C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝2x＋eq \f(1,2x)＝f(x)，为偶函数，故不符合题意； D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．] 4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 12　[法一：令x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] 5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值－3 D．有最小值－3 B　[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B． 法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3，