高考数学（江苏专用，理科）二轮专题复习 专题三 第2讲.docVIP

第2讲　数列求和及综合应用 考情解读　高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：(1)以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题．(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 1．数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为eq \f(1,anan＋1)的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))). 常见的裂项公式： ①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)； ②eq \f(1,n?n＋k?)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))； ③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1))； ④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))． 2．数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题. 热点一　分组转化求和 例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn. 思维启迪　(1)根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；(2)分组求和． 解　(1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 当n为偶数时， Sn＝2×eq \f(1－3n,1－3)＋eq \f(n,2)ln 3 ＝3n＋eq \f(n,2)ln 3－1； 当n为奇数时， Sn＝2×eq \f(1－3n,1－3)－(ln 2－ln 3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)－n))ln 3 ＝3n－eq \f(n－1,2)ln 3－ln 2－1. 综上所述，Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3n＋\f(n,2)ln 3－1，　　　　　n为偶数，,3n－\f(n－1,2)ln 3－ln 2－1， n为奇数.)) 思维升华　在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差