高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第8章 平面解析几何 第9节 第2课时 定点、定值、范围、最值问题学案 理 北师大版.docVIP

第2课时　定点、定值、范围、最值问题 (对应学生用书第151页) 定点问题 　(2018·郑州第二次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切． (1)求圆心M的轨迹方程； (2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点． [解]　(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则eq \f(p,2)＝1，p＝2. ∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y. (2)证明：由题知，直线l的斜率存在， ∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则C(－x2，y2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx－2，))得x2－4kx＋8＝0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4k，,x1x2＝8.)) kAC＝eq \f(y1－y2,x1＋x2)＝eq \f(\f(x\o\al(2,1),4)－\f(x\o\al(2,2),4),x1＋x2)＝eq \f(x1－x2,4)， 则直线AC的方程为y－y1＝eq \f(x1－x2,4)(x－x1)， 即y＝y1＋eq \f(x1－x2,4)(x－x1) ＝eq \f(x1－x2,4)x－eq \f(x1(x1－x2),4)＋eq \f(x\o\al(2,1),4) ＝eq \f(x1－x2,4)x＋eq \f(x1x2,4). ∵x1x2＝8，∴y＝eq \f(x1－x2,4)x＋eq \f(x1x2,4)＝eq \f(x1－x2,4)x＋2， 故直线AC恒过定点(0,2)． [规律方法]　1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 ①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. ②特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2.求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式. [跟踪训练]　(2018·呼和浩特一调)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，直线y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切． (1)求椭圆的方程； (2)已知定点E(1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【导学号 [解]　(1)∵直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切． ∴eq \f(2,\r(b2＋1))＝eq \r(2)，∴b2＝1. ∵椭圆的离心率e＝eq \f(\r(6),3)， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－1,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))eq \s\up12(2)，∴a2＝3， ∴所求椭圆的方程是eq \f(x2,3)＋y2＝1. (2)将直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得 (1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0， ∴Δ＝36k2－36＞0，∴k＞1或k＜－1. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则有x1＋x2＝－eq \f(12k,1＋3k2)，x1x2＝eq \f(9,1＋3k2). 若以CD为直径的圆过点E， 则EC⊥ED． ∵eq \o(EC,\s\UP7(→))＝(x1－1，y1)，eq \o(ED,\s\UP7(→))＝(x2－1，y2)， ∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0. ∴(1＋k2)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝0， ∴(1＋k2)×eq \f(9,1＋3k2)＋(2k－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12k,1＋3k2)))＋5＝0. 解得k＝－eq \f(7,6)＜－1. ∴存在实数k＝－eq \f(7,6)使得以CD为直径的圆过定点E. 定值问题 　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． [解]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下： 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又点C的坐标为(0,1)， 故AC的斜率与BC的斜率之积为eq \f(－1,x1)·eq \