高考数学一轮复习名师学案（北师大版文科）： 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式学案.docVIP

第一节　不等式的性质与一元二次不等式 [考纲传真]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． (对应学生用书第78页) [基础知识填充] 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b?a，b∈R?，,a－b＝0?a＝b?a，b∈R?，,a－b＜0?a＜b?a，b∈R?；)) (2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＝1?a＝b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＜1?a＜b?a∈R，b＞0?.)) 2．不等式的性质 (1)对称性：ab?ba； (2)传递性：ab，bc?ac； (3)可加性：ab?a＋cb＋c； ab，cd?a＋cb＋d； (4)可乘性：ab，c0?acbc； ab，c0?acbc； ab0，cd0?acbd；(单向性) (5)乘方法则：ab0?anbn(n≥2，n∈N)； (6)开方法则：ab0?eq \r(n,a)eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4 Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a0)的图像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 {x|xx1 或xx2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 {x|x1xx2} ? ? [知识拓展] 1．有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0) (2)eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0) 2．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立?a＞0且Δ＜0； (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立?a＜0且Δ＜0. 3．简单的分式不等式 (1)eq \f(f?x?,g?x?)≥0?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?x?·g?x?≥0，,g?x?≠0；)) (2)eq \f(f?x?,g?x?)＞0?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?x?g?x?＞0，,g?x?≠0.)) [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ab?ac2bc2.(　　) (2)ab0，cd0?eq \f(a,d)eq \f(b,c).(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是(　　) ①ab，cd?a－cb－d； ②ab0，cd0?acbd； ③ab0?eq \r(3,a)eq \r(3,b)； ④ab0?eq \f(1,a2)eq \f(1,b2). A．①②　　　　 B．②③　　　　 C．①④　　　 D．①③ D　[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acbd，故②不正确；因为函数y＝xeq \f(1,3)是单调递增的，所以③正确；对于④，由ab0可知a2b20，所以eq \f(1,a2)eq \f(1,b2)，所以④不正确．] 3．(2018·洛阳模拟)若a，b∈R，且ab，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2b2 B．eq \f(a,b)1 C．2a2b D．lg(a－b C　[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D．故选C．] 4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示) (－4,1)　[由－x2－3x＋40得x2＋3x－40，解得－4x1，所以不等式－x2－3x＋40的解集为(－4,1)．] 5．若不等式mx2＋2mx＋10的解集为R，则m的取值范围是__________． [0,