2020清华强基计划试题.docx

2020年清华大学强基计划 数学试题 1.已知，则的最值为（ ） A.最大值为,无最小值； B.最小值为，无最大值； C. 最大值为,最小值为; D.既无最大值也为最小值. 解 设，其中，.所以 ， 因为，所以，故选C. 2.非等边中，，分别为的外心和内心，在上且，下列选项正确的是（ ） A.四点共圆 B.∥ C. ∥ D. ∥ 答案：AD 解 与交于，为的中点，则,所以四点共圆. 所以,所以四点共圆. 由于四点共圆,所以，故∥. 3.均为的子集，且，问有序的三元组的个数为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解 方法1 设，如图所示 对于中的每个元素，均有种填法，因此总共有种方式. 方法2 若已确定，则有中方法，其中为集合元素的个数.因此有序三元组的个数为. 4.，令,则 A.可以等于 B. 可以等于 C.可以等于 D.可以等于 解 ，由条件,或，或，， 将作为一个整体考虑，，即或，所以或. 设中有组取，组取.则 其中为奇数， 5.为椭圆上一点，,则（ ） A.最大值为,无最小值； B.最小值为，无最大值； C. 最大值为,最小值为; D.既无最大值也为最小值. 答案：C 解 易知为的右焦点，设其左焦点为， ,而,故 . 6.三边均为整数，且面积为有理数，则边长可以为（ ） A. B. C. D. 解 边长为 7.为双曲线上一点，,令,下列为定值的是（ ） A. B. C. D. 解 设，则，所以，为定值； ， 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（ ） A.甲对 B. 乙对 C. 丙对 D. 以上说法均不对 解 9.直角中，,,,以下正确的是（ ） A. B. C. D. 10.（ ） A. B. C. D. 解 设，则，所以，即，故 . 故. 11.从这个数字中任取个组成一个位或位（在首位）数，则该数被整除的概率为（ ） 12.随机事件等于的概率，为除以的余数，则的数学期望（ ） 13.，则的（ ） A.最大值为 B. 最大值为 C.最小值为 D.最小值为。 14.，下列说法正确的是（ ） A.与可以均为完全平方数 B. 与可以均为完全平方数 C. 与可以均为完全平方数 D. 与可以均为完全平方数 15.（ ） A. B. C. D. 解 设，，，所以，故,即原式. 16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为，侧棱与底面夹角为，则（问与之间的一个关系） 17.函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） 18.的图象如图所示，与直线，，轴围成图形的面积为，则的最大值，的最大值为 19.定义数列，若，，使得，则称数列为“某数列”，以下正确的是（ ） A.，数列为“某数列”； B. ，为常数，数列为“某数列”； C. D. 任意等差数列，存在“某数列”，使.