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第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中,有些物体的截面几何外形(边界)为圆形、扇形,对 于这类外形的物体采纳极坐标 (r, ) 来解,由于此时边界条件用极坐标易描述、简便;本章将争论采纳极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以
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|精.
|品.
|可.
|编.
|辑.
|学.
|习.
|资.
|料.
*
|
及算例;
第 1 节 平面极坐标下的基本公式
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|欢.
采纳极坐标系就平面内任一点的物理量为 r, 函数;
o体力: fr=K r , f =K
o
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|迎.
|下.
|载.
面力: K r
Fr , K F x
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r应力: r, , r = r
r
P
应变: r, , r = r y
位移: u r , u
直角坐标与极坐标之间关系 :
x=rcos , y=rsin
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r
x r x
r
y r y
平稳微分方程
r 1 r
r r
r 1
r r
x
y
1
r ( r
2
cos
r
sin
r
)
r f
r
sin
r
cos
r
f r 0
0
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几何方程
ur
ur 1 u
1 u r u u
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r r ,
r r , r r r r
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变形和谐方程
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22|精.
2
2
|品.
1 r 1 (r ) 1
2 1
r(r ) r 0
r
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|可.
|编.
|辑.
|学.
|习.
|资.
|料.
r 2
物理方程
2 r r 2
r 2 r r r
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*
|
*
*|| 平面应力问题:
*
|
*
|
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rr|欢.
r
r
|迎.
|下.
|载.
1 1
()r E r , E (
(
)
r ) ,
2(1 ) E
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平面应变问题将上式中 E
边界条件
E
1 2 , 1 即得;
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位移边界条件:
力的边界条件:
ur ur , u u
在 su 上
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r cos(n,r )
r cos(n,r )
r cos(n, s) Kr
r cosn( , s) K
Fr
F 在 s 上
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环向边界
n // r : r
K r , r K
(r=r 0)
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径向边界
按位移法求解
n//s(n
r ): θr
Kr ,
K ( = 0)
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基本未知函数为位移 u r , u ,应变、应力均由位移导出;
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平面应力问题时的应力由位移表示
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E
r 1 2 ( r
E ur
) 1 2 r
( 1 u r
ur ) r
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E
2 ( r )
1
E (1 u ur
1 2 r r
ur ) r
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|精.
|品.
|可.
|编.
|辑.
|学.
|习.
|资.
E
r 2(1 ) r
E 2(1
( 1 ur
) r
u u )
r r
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|料.
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|欢.
|迎.
上式代入平稳微分方程可得到用位移表示的平稳微分方程 ,即
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