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3.7 圆的内接正多边形
教学目标 :(1)理解正多边形与圆的关系定理;
(2 )理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质;
(3 )理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;
教学重点: 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.
教学难点 :对 “正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆 ”的理解.
【知识要点】
1.正多边形的定义:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形与圆的有关定理
把圆分成 n(n ≥3)等份:
(1) 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形;
(2) 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形;
(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆,这两个圆是同心圆。
注意:①依据正多边形与圆的有关定理 (1) 、(2) ,只要能将一个圆分成 n(n ≥3)等份,就可以
得到这个圆的内接正 n 边形及外切正 n 边形,想一想, 你能否利用直尺和圆规作已知圆的内
接( 或外切 )正三角形、正方形、正六边形、正十二边形;
②如何证明任何一个正多边形 A 1A 2A 3 ……A n-1A n 都有一个外接圆呢?
我们可过 A 1 、A 2、A 3 三点作一个⊙ O ,分别连结 OA 1、OA 2 、OA 3 ,OA4 ,通过证明△
1 2 3 4 4 3 2 1
OA A ≌△ OA A ,得到 OA =OA =OA =OA .
从而点 A 4 在⊙ O 上,同理可证 A 5、A6 …… A n-1 、A n 其余各点也都在⊙ O 上,则可推出
此正多边形有一个外接圆。
3. 正多边形的其它性质
(1) 正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n
边形的中心,边数为偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似,正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。
4. 正多边形的有关计算
正多边形的外接圆 (或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心, 外接圆的半径叫做正多边形
的半径, 内切圆的半径叫做正多边形的边心距, 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做
正多边形的中心角。
正 n 边形的有关计算公式
注意:①同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相似形, 相似比是圆的内接正 n 边形边
1 / 81 / 8
心距与它的半径之比 。这样,同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比
②常用辅助线:连半径,作边心距,由正多边形的半径、边心距和 边长构成的直角
三角形集中反映了正多边形各元素间的关系, 是解计算问题的基本图形, 并且正 n 边形的半
径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。
【例题分析】
1.圆内接正六边形的周长为 24 ,则该圆的内接正三角形的周长为( )
A .12 B .6 C .12 D .6
2 .若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等, 试求这个正三角形与这个
正六边形的面积之比。
3 .如图, 是两个相同的正六边形, 其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外
接圆圆心 O 处
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